cot left( sumlimits_{r = 1}^infty tan^{-1} le | vedclass

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Question

(B) माना $S_n = \sum_{r=1}^n 	an^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} ight)$.हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{4}{4r^2 + 3} = \

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$\frac{1}{2}$

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(B) माना $S_n = \sum_{r=1}^n 	an^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} ight)$.हम $	an^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{4}{4r^2 + 3} = \frac{(r + 1/2) - (r - 1/2)}{1 + (r + 1/2)(r - 1/2)}$.अतः,$	an^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} ight) = 	an^{-1} \left( r + \frac{1}{2} ight) - 	an^{-1} \left( r - \frac{1}{2} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = \sum_{r=1}^n \left[ 	an^{-1} \left( r + \frac{1}{2} ight) - 	an^{-1} \left( r - \frac{1}{2} ight) ight] = 	an^{-1} \left( n + \frac{1}{2} ight) - 	an^{-1} \left( \frac{1}{2} ight)$.जैसे ही $n 	o \infty$,$	an^{-1} \left( n + \frac{1}{2} ight) 	o \frac{\pi}{2}$.अतः,योग $\frac{\pi}{2} - 	an^{-1} \left( \frac{1}{2} ight) = \cot^{-1} \left( \frac{1}{2} ight) = 	an^{-1} (2)$ है।अंत में,$\cot \left( 	an^{-1} (2) ight) = \frac{1}{2}$।

$\cot \left( \sum\limits_{r = 1}^\infty \tan^{-1} \left( \frac{4}{4r^2 + 3} \right) \right)$ का मान किसके बराबर है?

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यदि $0 < x < 1$ और $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ तथा $\tan ^{-1}(1+x)$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,तो $x^3$ का मान : . . . . . . है।

यदि $x \geq 1$ है,तो $2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2})$ का मान क्या होगा?

$2 \pi - \left(\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin^{-1}(1 - x) - 2\sin^{-1}x = \pi/2$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = $

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